一般数学教科书或者专著上给出的证明过程是浑然一体的。即便有其内在的层级和结构关系，也并不容易直接看出。再加上证明中鲜有图示与思路的讲解，使得书本上的证明过程至少在形式上非常抽象、难以理解。读者很容易在追踪作者思维的过程中把原本的目标给跟丢了。为了改进这种表述的形式和方式，在笔记中整理个人的证明过程时，需要做到如下几点：

  1. 证明前先分析问题，讲清楚证明的目标与思路。

    一个数学证明像是一阙音乐段落，都有一个动机（motive）隐藏其中。对于数学来说，这个动机就是我们常常在好奇心的驱使下所问的：“定理的提出者或发现者是如何想到这个问题的？”、“完成证明的那灵光一现是如何产生的？”、“换做我自己又该怎样思考”，等等。没有对这个动机的把握，就像是没有灵魂的音乐演奏一般，数学证明也就变成了枯燥、机械的逻辑过程。虽然将其死记硬背下来能考高分，甚至也能够解决实际问题，但却绝不能说由此就掌握了数学。

  2. 准备好证明所需的技术、工具。这包括必要的定义、定理等。

    这要求我们能够“学而时习”，时时查漏补缺。

  3. 用结构化思维组织证明的步骤与层次架构。

    根据我个人的实践体会，手绘的或者专业软件制作的思维导图是整理思维很好的方法。这对于解构需要复杂证明步骤的大定理非常有用。

  4. 用结构化文档呈现证明的具体过程。

    可以使用层级标题、有序和无序列表，并配合以缩进来格式化文档。这里推荐使用轻量级的Markdown撰写原稿。在使文档格式具有足够表现力的同时，既可以避免LaTeX文档编写的繁琐和抽象，也不至于被办公软件提供的多种复杂功能分心。

  5. 尽量给出能够体现出证明思路的流程图，关键知识点与主要结论的示意图。

    在这一点上，James Munkres的拓扑学一书就是很好的典范。同时，日本人在不同专业领域出版的一系列“图解”书籍也很值得借鉴。

  6. 给出例子，由抽象层次落实到现实案例和具体问题，从而有助于知识点和思路的巩固。

通过以上几个步骤，相信不仅可以巩固自身的知识并强化推理的能力，由此形成的文字也能够为相关领域的其他学习者带来一定的启发，因而是由输入型学习转为输出型学习的良好实践。

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