Christopher Heil在《Writing proofs》这篇文章中介绍了数学证明的基本思路与方法，包括：

  • 直接证明：根据已知条件，依据逻辑链条形成的次序推理，直至最终得到期望证明的结论。

  • 证明原命题的逆否（contrapositive）命题：逆否命题的逻辑真值表与原命题完全相同，所以二者是等价的。

  • 反证法：假设结论不成立，以此作为线索导出已知条件的不成立，从而形成矛盾。在这一点上，反证法即为逆否命题证明法。与此同时，也可以从已知条件和假设结论不成立这两个起点同时出发、“相向”推理，在“路途的中间”得出矛盾。

  • 两个命题的等价性证明：需要从正反两个方向证明条件的充分性与必要性。

  • 【多个命题的等价性证明：一般采用环形证明法。即，由命题1推出命题2，命题2推出命题3，然后以此类推到命题N-1推出命题N，最后由命题N推出命题1。当然，也不一定严格遵循这样的路径，只要能够保证任意两个命题之间的逻辑是打通的即可。】

  • 使用数学归纳法证明任意有限多的情况。【注意，数学归纳法不能推至无穷。】

此外，作者还强调了要用流畅的语言将数学证明的步骤、环节、公式、符号贯穿起来，而不能仅仅是抽象公式、符号的堆砌。【这一点非常重要，数学推导如同编程，需要用连贯的、人能读懂的语言来表达精妙的思想，呈现严谨的逻辑，而绝不只是充满晦涩难懂的怪异符号。】

对于数学证明的过程，作者建议采用“三张纸”方法：

  1. 第一张纸是草稿，用于在没有任何排版、卷面、格式的约束下抒写想法、自由涂鸦、任意尝试。

  2. 第二张纸是基于初步形成的思想，尝试性地写出证明。由此得到的材料仍是不完整的、有缺陷的，甚至是错误的。

  3. 第三张纸是最终的正式稿，要用清晰、流畅的语言完整、干净地写在纸上或者在电脑上排版。

作者在此强调，只有第三张纸的内容出现于教科书、专著和提交的作业。所以，在完美与严谨证明的背后，隐藏了不知多少零乱的涂改、失败的尝试以及学生、学者们的心血。【因此，当我们在苦苦思索后仍寻不到答案时，不要气馁。当同时面对自己零乱的草稿和精美的教科书时，亦不要自惭形秽。数学证明是一个试探的过程，靠的是精雕细琢、不断打磨，而不是一蹴而就。臻于至善也绝不是一日之功！】

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