大多数人对数学的理解，“浅薄”一点的，就是小学的算术；“高深”一点的，也无非是大学的高等数学、微积分。然而，这里所谓的“浅薄”和“高深”都是一种假象。真正的数学思想还没有在此体现，对其理解也还根本没有登堂，更不必提入室了。一般人可能都不明白，为什么到了初中，数学课的名字变成了代数。代数是什么意思？大家都不知道，老师也不讲。可数学抽象与理性思维的力量，恰恰可以在这个阶段予以阐释。

数学实质上是人们借助逻辑思维，用一组公理、定义、定理构成的理性世界。公理是这个理性世界中大家公认或者无需证明和怀疑的事实、原则。定义是对不同对象自身属性和范畴的严格、无歧异的声明。定理则是提炼出的对象之间逻辑关系的一条条纽带。从这一点来看，数学理论体系是不是和法律很像呢？当然，真正的数学不只是像法律体系那样现实和枯燥，它已经抽象到可以完全驰骛于现实之外而独自纯粹、完美地存在，并在理性的推动下不断细化、丰富、拓展。虽然，我们仍可以用现实世界中的例子从某个角度将其体现，就像是电磁理论能够折射出微分几何的部分光辉，量子力学理论中亦可以找到泛函分析的身影，但这都不免囿于现实世界中某一具体物质，从而显得扭曲与片面。更何况，数学抽象本身也并不需要来自现实世界的诠释。数学抽象之极至有如葡萄美酒的芳醇，咖啡浓厚纯正的苦涩。能够真正懂得欣赏这种纯粹与简单的人，一定具有相当高层次的品味。

由此可以看出，数学是一个自洽的、完美的体系，而且这种完美是纯粹的、终极的。姣好的容颜无法长久，美丽的心灵亦难免缺陷。唯有数学的严谨精巧与完美纯粹是永恒不变的。需要说明的是，数学的完美也不完全是为了应用，其构建理性世界本身的过程和结果就很有价值。这是人和动物的区别。否则，整日“言不及义”，没有理性思考，每个人便不过是吃饭、繁殖，再加上点低俗或高雅的娱乐活动而已——这也基本和动物是一样的。不过，在那些对科学缺乏敬畏的人看来，这一理性构建的“初级”过程显得浅显以至于毫无意义，繁琐以至于毫无必要。然而，以此为基石，由理性的不断发挥而构建出的理论大厦令其望而却步，并因无法读懂现代科学的基本语言而终与严谨学术无缘。