\(k\) 阶行列式可以看作是处于对偶空间中的 \(k\) 阶外微分形式在 \(k\) 重切向量上的投影。其中，\(k\) 阶外微分形式实际上是 \(k\) 重对偶切向量的反对称张量积（张量积的一种特殊形式）。上述投影操作是将这一组 固定 顺序的 \(k\) 个对偶切向量分别作用在以不同方式排列（permutation）的这一组 \(k\) 个切向量上。若将以上给定的 \(k\) 个对偶切向量的索引作为行列式中元素的行索引，\(k\) 个切向量的初始索引（排列操作之前）作为行列式中元素的列索引，则 \(k\) 阶外微分形式在 \(k\) 重切向量上的投影与相应行列式值一致。

在 \(k\) 阶外微分形式于流形上的积分中，每一个无穷小的积分微元相当于将此 \(k\) 阶外微分形式投影在由该处切空间的基所构成的 \(k\) 重切向量上（该基并不需要正交或者规一化）。特别地，对于 1 阶外微分形式，例如电场强度，该投影的结果或者行列式的值相当于经典矢量微积分理论中在笛卡尔坐标系下电场强度矢量在路径 \(dl\) 上的投影。对于 2 阶外微分形式，例如磁感应强度，该投影的结果或者行列式的值相当于磁感应强度矢量在面元 \(dS\) 上的通量。对于 3 阶外微分形式，例如电荷密度，该投影的结果或者行列式的值相当于电荷密度在体积元 \(dV\) 上的总量。